I came down with a cold.

我患感冒了。

come down with sth不 是 拿 着 什 么 东 西 下 楼，而是表示生病、染上...病、患...病，一般指感冒发烧之类的小病症。

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感冒症状该怎么描述？

I have a fever.

我发烧并且流鼻涕。

“I have…”表示有…的症状。have a fever是发烧发热意思，

还可以说have a temperature。

I am hoarse because of sore throat.

我嗓子哑了，因为我喉咙痛。

hoarse表示嘶哑的，sore表示疼痛的，throat是咽喉的意思。

My cough has slackened, but my nose is still running.

我咳嗽轻了，但还在流鼻涕。

run可以表示液体的流动，所以流鼻涕就是是have a runny/running nose。

I've got a splitting headache.

我头痛欲裂。

split有撕裂的意思，头疼欲裂另一种说法是"My head is killing me"。而表示轻微的头疼是have a slight headache。